很多喜爱数学的人的共性：每当解出一道数学难题就会很有成就感！

还有人说他感到孤独时，做做数学题，心情就会愉悦起来！

卡尔马克思做数学题时，可能也是这种情况。

我每天只花1小时做题。快时1小时可做3道，慢时几天都没有思路。突然在出去运动时、做家务时，甚至上厕所时，来了灵感。

做出一道题，会很有成就感的。

有时题做顺了，时间会不知不觉地过去了。

一个星期做两三道就可以了，预防老年痴呆，但不可过度影响工作生活！

可以挑着做啊。

实在做不出，才看答案。而且答案有多个。

一些看起来不难的题目用别的方法做，可能会更快更好，打开新思路。

老顾有这么多时间做这么多题！羡慕！

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2024_AMC_12A_Problems

2024年AMC 12A第一题：

求：

9901*101 - 99*10101

呵呵，难吗？

一般它的最后一题：第25题最难，但是多想想也能做出来。

每年的试题分两部分，每部分25题，就是每年有50题。

慢慢做，一个月到一个半月就能做完了。

我下面说了，AMC12和AMC10不难的，前面几道题甚至是送分题。

AIME也可以试试。

难的是USAMO和IMO两个奥数赛。

老顾：我做数学题只是业余爱好，活动脑筋，太难的AIME奥数题就算了。谢谢！

美国中学的数学竞赛，有

--AMC: 8、10和12三种，各对应8、10和12年级。其中AMC 10和AMC 12的有些题是一样的，每年赛1次。这些题比较合我们的胃口，只有个别的难题。

见：

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/AMC_12_Problems_and_Solutions?srsltid=AfmBOopU8SG2VXPW_O8LKg1uCxEDfVC6Mmm_4k-Mz_ajggR6AnpBEbU0

我把这里面所有的题目都翻了一遍做了，很有趣。

--再高一点的水平的高中数学竞赛是AIME，是美国国家奥数的选拔赛，题目显然难了一些，不过动动脑子，可以做出一大半。我正在做这个。

见：

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/AIME_Problems_and_Solutions?srsltid=AfmBOopDM3jipDZKf_j-5aJJKB4bKvYrQ_7vMfZIDI3q26ZGqZ6-qisn

--再上面就是美国国家奥数赛USAMO：

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/USAMO_Problems_and_Solutions?srsltid=AfmBOopRqYR9r-CGmtOLZDlOcXWf5djK3BTSTtn8ma3CI8H8sgVm0QNp

--以及世界奥数赛IMO：

https://www.imo-official.org/problems.aspx

这些奥数的题目已经相当难了，有些连题目都很难看懂。

有兴趣的话，可以仔细找找看看玩玩。看看各国的数学水平与中国的不同的地方。

这个余数问题不会做。

显而易见，没有重复的啦！

利用“同余【congruence】”的概念做这道题比较容易。

现在“同余”已经放入高中课本了，包括中国的高中。

参见：

模运算：

https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic

【模运算，中文】

https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%A8%A1%E7%AE%97%E6%95%B8

求：

2^192 - 1

被1000除后的余数。

3数互换时，要考虑到两个方程的限制。

你的6个combinations可能有重复的组合。

你把所有的你认为的组合放在一起，然后按顺序排列，看看有没有重复的组合。

Binet 公式【Fibonacci 数的通项公式】：

F(n) = (1/√5)*(φ^n - ψ^n)

F(n)表示第n个 Fibonacci 数。

我的看法是：这个公式把原来的Fibonacci 数之间的加法关系变成了乘法关系。

φ^10 = （123+55√5）/2

φ^10 - ψ^10 = 55√5

老顾：a,b,c 三数可以互换，共6个combinations ，正确答案是1201。我不再继续讨论这个问题了。

还有，以下情况也使得第二个方程（等于6百万的那个方程）不成立：

a=100+k1, b=100+k2, c=100-k1-k2

或

a=100+k1, b=100-k2, c=100-k1+k2

你可用excel 试一下。

可以这样算：

设a=100+k, b=100-k, c=100

(100+k)^2*(100-k+100) + (100-k)^2*(100+k+100) + 100^2*(100+k+100-k)

=(100+k)^2*(200-k) + (100-k)^2*(200+k) + 100^2*(200)

=6,000,000

这是一个恒等式。就是说，由于k是非负整数【题设】，因此0≤k≤200【由算式中(200-k)可以看出】。

算出二元数组(a,b)的组数，举一反三，就可以算出(b,c)和(a,c)的同样数目的组数，再减去两组(100,100,100)，得到601。

另外，三个变量中，其中两个变量不可能同时为0：这时第二个方程也是0了。

3个变量之和是300，故决定了其中2个的数据，第三个数就是300-前两数之和，是可以定了的。

你的表中，计算二元数组(a,b)的个数就可以了，然后把结果乘以3，……。这个思路就是我写的思路。

你把a和b两个数继续写下去，直到最右边的数不是6百万为止；

然后a从201开始向上走：202，203，……，也直到最右边的数不是6百万为止。

除去重复的数据，再看结果。

以下这道题仍然与Fibonacci数列有着隐形的联系。

二次方程x^-x-1=0有两个共轭根：

(1+√5)/2 和 (1-√5)/2

一般把前者记为φ，后者记为ψ（或者其他的符号）。

两者关系根据韦达定理，有

φ*ψ = -1, φ+ψ=1。

求：

φ^10，以及

φ^10 - ψ^10.

老顾：我疏忽了。我把表重作一下。答案不变，仍是1201。

我知道你错在哪儿了。

a+b+c=300，不是600.

你那个(201,200,199)，计算第二个方程时，结果是48,000,000.

我也是用excel算的。

这题当时我是这么想的：

3个数的平衡点是（100, 100, 100），这时也满足第二个方程（6百万）。

现在固定3个变量中的一个（例如c）保持100不变，让a增加1，同时b减少1，这时第二个方程（6百万）也仍然成立。

直到a=200，b=0，c=100（c一直保持100不变），第二个方程（6百万）仍然满足。即a从100到200，b从100到0，是101种三元数组(a,b,c)。【三个变量之一超过200，第二个方程就不会成立了】

然后，让a从100开始减少1，同时b从100开始增加1，c仍然保持100不变，这时第二个方程（6百万）也仍然成立。

直到a=0，b=200，c=100（c一直保持100不变），第二个方程（6百万）仍然可以满足。即a从100到0，b从100到200，也是101种三元数组(a,b,c)。

合起来，a从0到 200（同时b从200到0），是201种组合。

由于a、b和c在两个方程里地位相同，上述情况中的a换成c，b换成c，也可以成立。

(a,b)、(b,c)、(a,c)【其中第三个变量保持100不变】三种情况下

，共为201*3=603种组合。

但是（100, 100, 100）在中间出现了3次，故要减去2个，总计：

603-2=601种组合。

老顾：我认为您提供的答案601错了，或者说您看到的标准答案 错了。正确答案是1201.

我下面的两个图表符合第二个方程的要求。并没有重复的数字组。除非您能指出什么地方重复了。

另那道复数题，我看不清写的啥。请另外出一题吧！

除了三数之和为600外，还要符合第二个方程的限制。

老顾: 如果把0包括进去，一共201组对称数，（200，200，200）组只有一个答案。

其余200组，每组都有 6个答案， 所以最终大案应该是1201

以（201，200， 199）组为例，a, b, c 数值分布组如下。

看看有没有重复的数字？

3个字母各201种数（0-200），为603种，再减去两组（100，100，100）重复组，即为601组。

再来一题单位圆/根-复数开方。

w是13次单位根【即w^13=1】，但w≠1.

求：

(2 - 2*w^0 + w^(2*0))*(2 - 2*w^1+ w^(2*1))*(2 - 2*w^2 + w^(2*2))*...*(2 - 2*w^11 + w^(2*11))*(2 - 2*w^12 + w^(2*12)