GEOMETRIA DIFERENCIAL Y CALCULO APLICADOS

GEOMETRIA DIFERENCIAL Y CALCULO APLICADOS MIGUEL ANGEL PRIETO y MARISOL DIAZ OLIVARES (Primera Edición. 1987)(Segunda Edición 2025) pág. 1 LOS AUTORES Marisol Díaz Olivares curso estudios de Medicina Comunitaria en la universidad UNEFA Campus Santa Teresa del Tuy (2005-2010). Es autora de varios Libros. Entre otros:” Análisis Matemático”, “Historia del Hallazgo de la Ciudad Quiriquire” y “Uro-Botánica Medicinal de Venezuela”. Coordino’ la ejecución de quince obras de viviendas reparaciones y ampliaciones del Proyecto de Vivienda del Alto de Las Adjuntas (2007-2013). Miguel Angel Prieto, fundador de la Federación Venezolana de Actividades Submarinas(FVAS) en 1964. Asesor Científico de la FVAS desde 1978. Egresado de la USB Sartenejas. Ingeniería Química (1971-1976). Y luego obtuvo el Título de Arquitecto de la UCV (1976-1979). Maestrías en Arqueología de la Arquitectura y Arqueología de la Prehistoria. Autor del Proyecto de Arquitectura de Viviendas del Alto de Las Adjuntas CTU00072(2005-2012). Proyecto de Acueducto del Alto de Las Adjuntas (2012). Entre 1971 y 1977 desarrolla su proyecto del Habitáculo Submarino Tektite (1968) con las versiones TektiteE3 llamado Acquaforum: la primera forma de arquitectura submarina. Y Acquamovil IV URAO. En cuyos cálculos de deformación por maremotos y anomalías gravimétricas, empleo su manual de Geometría Diferencial, que hoy publica junto a su esposa y coautora Marisol Díaz Olivares. Evelyn Tarazona (2023) pág. 2 PROLOGO por Marisol Díaz Olivares (UNEFA, Sta. Teresa del Tuy. 2005) Algo que deben procurar los autores es lograr que los lectores accedan fácilmente a los conceptos. Para poder estudiar esta temática de la Geometría Diferencial Aplicada el estudiante requería un Glosario completo. Una explicación sencilla del significado y aplicación de cada termino. Como docentes debemos impartir Matemática explicando detalladamente a los alumnos el significado formulación y aplicación práctica de los vocablos y términos que exponemos. Partimos en esta meta elemental con las ideas de los Profesores Pynchas Brenner y Jaime Schnell (1972). Nuestro libro de Geometría Diferencial y Calculo Aplicados se ha propuesto explicar las aplicaciones cotidianas más comunes de esta notable parte de la Matemática. Nos hemos propuesto exponer algunas de las aplicaciones naturales e industriales de pág. 3 esta parte de la Matemática. El texto Reúne la teoría y problemas conforme al pensum de 4° año, XIII° Trimestre o VII° Semestre en las carreras de Física, Matemática, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, e Ingeniería Química en la USB de Sartenejas y en la UCV. El texto trata la Geometría Diferencial de líneas curvas y superficies curvas en el Conjunto R3 los cuales son presentadas como líneas Curvas y Superficies en escala, paramétricas o parametrizadas en R3 campo de los Vectores en tercera dimensión (x,y,z) (Haaser La Salle Sullivan, 1970). Se analiza el Teorema de la Función Implícita con el propósito de aplicarlo en las definiciones de superficies y curvas. Se adoptó el mismo glosario y notación propias del libro del profesor Manfredo Do Carmo, así como su criterio para la presentación en Temas, aunque se han ampliado algunas demostraciones, así como el orden de secuencia de algunos de los Teoremas de aquel. Incluimos además algunos ejemplos nuestros. Tanto en el texto como en los ejercicios resueltos. En varios de los temas tratados pág. 4 hemos incluido un anexo con el objeto de ampliar definiciones y conceptos incluidos en nuestro curso o bien desarrollar algún tópico con el mismo propósito e incluimos en nuestra introducción la condición de regularidad de Curvas y superficies curvas y su interpretación desde el punto de vista geométrico. [email protected]. [email protected]. Imagen Tomada de: “La Energía Nuclear en Venezuela: Pasado, Presente y Futuro”. MIGUEL ANGEL PRIETO y MARISOL DÍAZ OLIVARES. UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR. ACADEMIA EDU. pág. 5 BIBLIOGRAFIA Y FUENTES CITADAS por Marisol Díaz Olivares (UNEFA, Sta. Teresa del Tuy. 2005) 1. Rouche E. et Comberousse Ch.(1934)”Les Courves et les Surfaces Unusuelles”. Traite de Geometrie. Livre VIII pag.289507.Gauthier.Villars.Editeur-Impremeur-Libraire. Paris. 1934. 2. Eisenhart H. (1947) “An Introduction to Differential Geometry”. Princeton University Press.1947. 3. Struik H. (1955) “Classic Differential Geometry”. Schaum Outline Series. Theory & Problems. Mc Graw Hill Book Company. 4. Hilbert-Cohn-Vossen(1962) “Geometry and Imagination. Chelsea Press. 1962. 5. Stoker H.(1966). “Differential Geometry”. Academic Press 1966. 6. O’Neill P.(1972) “Differential Geometry Elements”. Limusa Wiley Interscience (1972). 7. Do Carmo Manfredo ”Differential Geometry of Curves & Surfaces”. Prentice Hall(1976). 8. Pogorelov P. (1977)“ Geometría Diferencial”. Editorial MIR. Moscow.1977. 9. Klingenberg H.(1978) “A Course in Differential Geometry”. Springer Verlag(Edit.)1978. 10.Spivak G. (1979) “A Comprehensive Introduction to Differential Geometry”. Publish or Perish, 1979.Vol II. pág. 6 11.Núñez-Testa, G., Uccello, B. & Prieto, M. (1976) “Calculus and Differential Geometry”. Study Guide. USB Sartenejas. Edit. GEINVES-CEDE. 1975. 225 pg. 12.Díaz Olivares de Prieto, Marisol (2006) “Una Guía de Cálculo y Geometría Diferencial”. Unefa. Sta. Teresa del Tuy. 13.Wendell & Fleming (1980): “Calculo de Varias Variables”. CECSA.1980. 14.Iglesias de R., Edith (1991): “Geometría Diferencial”. Facultad de Ciencias. Escuela de Física y Matemáticas UCV. Imprenta Universitaria. Caracas.199pg. 15. “The Shell: Five Hundred Millions Years of Inspired Design”. More than one thousand examples of Differential Geometry Forms, in Mollusks Valves and Shells of Venezuelan Sea Coastal Shores”. CESUSIBO. Sartenejas. Edit. M. Prieto 1978. Multigraph. Limited Edition. 16. Prieto M.A. (1978) “Valvas y Conchas del Mar de Venezuela”. Análisis de Formas y Caracteres. Revista Náutica Internacional Caza y Pesca. Miami, Florida. N°193. Agosto de 1978. Págs. 20-21. 17.Prieto M.A. (1976) “Geometría Diferencial en las Formas de la Fauna Submarina. Ponencia del autor ente la FVAS”. Edif. Belloral. Oficina St.1. Av. Andrés Bello. CESUSIBO.USB. 18.Prieto M.A. (1972) “Guía de Estudio sobre Geometría Diferencial Aplicada en Espeleología Submarina: A) Cuevas e Islotes de Playa Paraíso. B) Arrecife Coralino Isla Cubagua. C) Cuevas Submarinas de Isla Cachua. D) Catedral Submarina Isla Borracha. E) Cueva Submarina Josefa Camejo de Isla El Monje del Este en el Archipiélago Los Monjes Golfo de Venezuela. F) Cueva Submarina El Beato de la Media Legua. Carayaca. G) Laguna Los Corrales. Archipiélago Los Roques. CESUSIBO-USBSARTENEJAS. Dirección de servicios Estudiantiles. Dr. Pancho Rivero. USB. 1972. 19.Prieto M.A. (1972) “Guía de Estudio sobre Geometría Diferencial Aplicada en Calculo de Perfiles, Secciones y Volúmenes en Movimientos de Tierra”. USB. Coordinación de Física. Dr. Oscar Padrón. pág. 7 AGRADECIMIENTO Nuestro libro de Cálculo y Geometría Diferencial Aplicados comprende el estudio y aplicación de fórmulas de curvas y superficies curvas simples y compuestas que pertenecen a la competencia de los Vectores (Espacio R3) y el Cálculo Vectorial. Va nuestro reconocimiento y agradecimiento a todos los autores y fuentes citados en la Bibliografía del presente trabajo. GEOMETRIA DIFERENCIAL: APLICACIONES 1. Elaboración de láminas de metales, de termoplásticos y también de vidrios de seguridad con dobles curvaturas para vehículos personales y colectivos. 2. Elaboración de moldes para láminas de metales, de termoplásticos y también de vidrios de seguridad con dobles curvaturas para aeronaves y astronaves. 3. Elaboración de moldes para láminas de metales, de termoplásticos y también de vidrios de seguridad con dobles curvaturas para anteojos de lectura y bifocales multifocales. Cascos de seguridad, para el Buceo Profundo y para tripulantes de aeronaves y astronaves. 4. Elaboración de diversos productos, Utensilios, Embalajes, Envases, Vehículos, que requieren poseer Curvas planas simples, Áreas Curvas simples y compuestas, volúmenes regulares, así como irregulares y también intersecciones de los mismos. pág. 8 5. Carrocerías, Cabinas y Fuselajes. Fabricación de las partes componentes de las mismas para su ensamblaje final. 6. Análisis y Calculo de trayectorias en curvas planas, compuestas, simple y doblemente curvas y compuestas, con o sin peraltes, para los proyectos de Carreteras y Autopistas. Su cálculo de volúmenes y espesores y recubrimientos de materiales para los análisis de precios y presupuestos. 7. Medición de longitudes de curvas por subdivisión en segmentos parametrizados, aplicables a los cálculos de líneas de Suministro Eléctrico, Acueductos, Aducciones de Drenajes, construcción de Canales para aguas de lluvias e inundaciones. 8. Medición de longitudes de curvas por subdivisión en segmentos parametrizados, aplicables a los cálculos del trazado y secciones de Cables Submarinos, Gasoductos, Oleoductos, Líneas de Fibra Óptica y Líneas Eléctricas. 9. La medición exacta de distancias recorridas para la navegación aérea, marítima e interplanetaria. 10. Proyectos de rampas helicoidales para construcción de rampas vehiculares en centros comerciales vehiculares. También en proyectos de Rampas en Hélice regular para rampas de uso peatonal y escaleras en Edificios. 11. Proyectos de estructuras desarrollados como dobles muros portantes curvos. Estructuras Paraboloides, Hiperboloides, Paraboloides Hiperbólicos y otros proyectos complejos análogos. 12. Aprovechamiento estratégico (antisísmico) de los ejes rectos Asintóticos (Asíntotas) de los Paraboloides Hiperbólicos, en estructuras de Concretos o de Termoplásticos, como directrices para instalarles vigas pág. 9 rectas de tracto compresión, flexión y torsión que puedan ser fácilmente ocultas en las cubiertas y muros, y que además puedan calcularse como estructuras aporticadas simples. 13. Diseño y Moldeado de todo tipo de envases, Roscas para tapas, diseño de roscas y tornillos, de diferentes materiales y diámetros. 14. Diseños de estructuras tridimensionales de vector activo y masa activa para vehículos espaciales. Obtención de secciones transversales ideales para mayor rendimiento. Diseño de estructuras magneto permeables y auto portantes. 15. El Análisis de la Geometría Diferencial de estructuras Naturales Forma Función y Evolución fue dado a conocer en una publicación especial: “Valvas y Conchas del Mar de Venezuela”. Análisis de Formas y Caracteres. Revista Náutica Internacional Caza y Pesca. Miami, Florida. N°193. Agosto de 1978. Págs. 20-21. Usando como base el catálogo general (14) de moluscos gasterópodos y bivalvos de Venezuela. 16. Las Formas y Superficies Curvas que presentan los organismos Invertebrados Submarinos especialmente las formas curvas de Valvas y Conchas en su Análisis de Formas y Caracteres que se pueden calcular mediante la Geometría Diferencial. (Prieto, M.A.:“Valvas y Conchas del Mar de Venezuela” Revista Náutica Internacional Caza y Pesca. Miami, Florida. N°193. Agosto de 1978. Págs. 20-21.) 17. Determinación de Volúmenes en Geodesia. Evaluación de recursos minerales para agregados y similares. 18. Determinación de Volúmenes Reales en Cuencas Lacustres y secciones sedimentarias fluviales, con datos obtenidos a partir de secciones sísmicas y eléctricas. pág. 10 19. Determinación de Volúmenes y Formas de Lechos sedimentarios Submarinos, con datos obtenidos a partir de secciones sísmicas y eléctricas. 20. Determinación de curvas, superficies curvas y volúmenes de aire de condiciones fisicoquímicas notables, como masas de aire o vapor de agua térmicamente singulares o contaminadas con poluentes diversos. 21. Determinación de la forma de sedimentación acumulada en canales de drenaje, canales de agua caliente y obras similares en Plantas Termoeléctricas a partir de los perfiles sísmicos-eléctricos. 22. Análisis de Patrones Geométricos que siguen algunas comunidades biológicas acuáticas como los Arrecifes de Coral, Manglares marinos y fluviales, Boreales o Pantanos Vegetales Flotantes. 23. Sincronía de las Ruedas Dentadas de los Relojes, engranajes de motores, trasmisiones, vehículos, equipos de perforación, juguetes mecánicos, ruedas explicativas de los calendarios. 24. Sincronías de las curvas eclípticas de los planetas, sus satélites naturales, y las estrellas en torno a las cuales se trasladan y rotan. 25. Efectos de las Sincronías de Traslación Orbital de los sistemas estelares en la configuración y simetría de formas de las Galaxias. 26. Calculo de deformaciones producidas por maremotos y anomalías gravimétricas, en estructuras curvas habitables. pág. 11 GLOSARIO  Curvas R2: Son las Líneas no rectas, que pueden ser analizadas como una secuencia continua de Puntos y Vectores R2, del Conjunto R2 de los Números Reales en el Plano R2. Gráficamente esas líneas pueden ser regulares (Circunferencia, Parábola, Elipse, Hipérbole u otra función mixta f(x).  Curvas R3: Son las Líneas no rectas, que pueden ser analizadas como una secuencia continua de Puntos y Vectores R3, del Conjunto R3 de los Números Vectoriales o Vectores en el Espacio R3. Gráficamente esas líneas pueden ser regulares (Circunferencia, Parábola, Elipse, Hipérbole u otra función mixta).  Curvas R3 parametrizadas: Son las Curvas que pueden ser medidas y sometidas a escala y así analizadas como una secuencia continua de Puntos y Vectores R3, del Conjunto R3 de los Números Vectoriales o Vectores en el Espacio E3.  Superficies R3: Conjunto de Puntos que por si, o como parte de Curvas, forman parte de superficies, Curvas que pueden ser medidas o sometidas a escala y así analizadas como una secuencia continua de Puntos y Vectores R3, del Conjunto R3 de los Números Vectoriales o Vectores en el Espacio E3. pág. 12  Superficies R3 parametrizadas: Conjunto de Puntos que por sí, o como parte de Curvas, forman parte de superficies, Curvas que pueden ser medidas y sometidas a escala y así analizadas como una secuencia continua de Puntos y Vectores R3, del Conjunto R3 de los Números Vectoriales o Vectores en el Espacio E3. Formando planos que pueden ser cartografiados a escala y matemáticamente medidas sus áreas y volúmenes.  Teorema de la Función Implícita  Apéndice para ampliar Conceptos que se usan el curso VII° Semestre UCV.  Regularidad de Curvas y su significado geométrico  Regularidad de Superficies y su significado geométrico  Isomorfismo  Homeomorfismo  Difeomorfismos  Determinante Jacobiano  Teorema de la Función Inversa  Aplicaciones de Abiertos de Rm en Rn si m<n.  Curvas Regulares  Teorema 1 de las Curvas Regulares  Teorema 1 de las Curvas Irregulares  Reparametrizacion de Curvas.  Longitud de un Arco de Curva (por división en varios tramos)  Teorema 3 si Alpha es una Curva Plana Regular y c,d |Ci, entonces L Alpha = Integracion entre c/d |a’(t)|dt que es la longitud del Arco Alpha(c,d) p16  Teorema 3: Demostración. pág. 13  Curvatura de una Curva Plana.  Teorema 4: si a’ es una Curva regular plana de curvatura constante, ella es parte de la Circunferencia de radio igual a 1/k. Pero tambien es parte del Caracol Plano, uno de cuyos focos es A en el tramo –BB. TEOREMA 4: Si a’ es una curva regular plana de curvatura constante en ella es parte de la Circunferencia de radio igual a 1/k. Y tambien es parte del Caracol Plano, uno de cuyos focos sea A en el tramo –BB, o cuyo otro foco sea B en el tramo –CC. pág. 14 INDICE DE CONTENIDOS Pag. Los Autores……………………………………………………………………… 3 Prologo…………………………………………………………………………… 4 Bibliografía y Fuentes Citadas………………………………………….. 6 Agradecimiento ………………………………………………………….…… 8 Geometría Diferencial. Aplicaciones…………………………………. 8 Glosario de Geometría Diferencial……………………………………. 12 Introducción……………………………………………………………………. 17 El Cálculo de varias Variables…………………………………………… 17 TEMA 1. Curvas regulares en el plano recto………………….…... Longitud………………………………………………………………………..… Curvatura…………………………………………………………………..….… Curvas Regulares en el conjunto R3 …………………………………. Curvas regulares en el plano Curvo…………………………………… Curvaturas Planas y de Torsión………………………………………… Triedro de Frenet…………………………………………………………….. Forma Canónica del Triedro…………………………………………….. Teorema de la Teoría de Curvas en R3……………………………... Curvas en Rn. Funciones de Curvatura……………………………… Teorema 4: De curva regular plana y curvatura constante…13,14 Anexo I. Isometrías y Axonometrías en R3 ……………………..... Determinante Jacobiano no nulo………………………………………13 Homeomorfismos y Difeomorfismos…………………………………19 TEMA 2. Superficie Paramétrica Regular………………………….. Superficie Regular como expresión de funciones notables… Teorema de la Función Implícita……………………………………… pág. 15 Definición en forma Implícita de Superficies…………………….. Teorema del Cambio de Parámetros………………………………… Funciones Diferenciables………………………………………………… Aplicación Diferenciable………………………………………………….. Diferencial de una Aplicación. Plano Tangente………………….. Orientabilidad………………………………………………………………… TEMA 3. Paramétrica de Superficies Curvas …………………… Isometrías……………………………………………………………………… Anexo: Expresión de la Medición de Superficies………………. TEMA 4. Introducción ………………………………….…………………… Aplicaciones de Gauss……………………………………. Segunda Forma Fundamental…………………………………………….. Curvas en superficies………………………………………………………… Curvatura Normal……………………………………………………………… Curvatura de Gauss…………………………………………………….……… Forma local de una superficie……………………………………..……… Aplicación de Gauss en Coordenadas locales…………………..…… Teorema de Gauss…………………………………………………….……….. Teorema de la Teoría Fundamental de Superficies……………... Líneas Asintóticas y Líneas de Curvaturas…………………………… Anexo: Puntos Umbilicales…………………………………………………. TEMA 5. Introducción ………………………………….…………………… Superficies Regladas………………………………………………………….. Intersecciones y Desarrollos………………………………………………. TEMA 6. Geometria de Riemann…………………….…………………… Derivada Covariante………………………………………………………….. Transporte Paralelo……………………………………………………………. Curvas y Superficies Geodesicas………………………………………….. Aplicación Exponencial………………………………………………………. Coordenadas Geodésicas Polares………………………………………… Propiedad Minimizante………………………………………………………. pág. 16 TEMA 7. Ejercicios Resueltos…………………………………………… Anexos Generales de la Obra……………………………………………… INTRODUCCION El “Cálculo de Varias Variables” podría suponerse algo extraordinariamente difícil Wendell & Fleming (1980) “Calculo de Varias Variables”. CECSA.1980. Sin embargo, podemos citar varios ejemplos de la vida cotidiana que dicen exactamente lo opuesto: 5P + 6T + 2C + 4A + 1(lt a) = 1S 10P + 12T + 4C + 8A + 2(lt a) = 2 S 15P + 18T + 6C + 12A + 3(lt a) = 3 S 20P + 24T + 8C + 16A + 4(lt a) = 4 S En el ejemplo previo cinco papas, seis tomates, dos cebollas, cuatro ajos y un litro de agua sirven para preparar un servicio de cocido, cuyo volumen puede duplicarse, triplicarse, o cuadruplicarse. El mismo criterio puede aplicarse para preparar una misma mezcla muy especial de concreto armado, en la que tres sacos de Cemento, tres sacos de piedra, tres sacos de arena,10 k de acero, y treinta litros de agua dan un metro de concreto armado con resistencia adecuada: 3C + 3P + 3Ar + 10Ac + 30A = 1m3 6C + 6P + 6Ar + 20Ac + 60A = 2 m3 9C + 9P + 9Ar + 30Ac + 90A = 3 m3 12C + 12P + 12Ar +120Ac + 120A = 4 m3 Ambas funciones tienen seis variables. Pueden lucir muy difíciles, pero los cocineros y los maestros de obra las aplican a diario. El pág. 17 mismo criterio de proporciones definidas se aplica a diario en química y en física. (“Química”: Alejandro Irazábal, 1968). TEMA 1. CURVAS REGULARES EN EL PLANO RECTO Las Curvas en el Plano Recto son líneas que no están compuestas de rectas ni de segmentos rectos. Las Curvas Regulares son las que obedecen a unas Funciones F(x), F(y) o F(z) determinadas. Las Curvas Irregulares son las que se trazan de modo aleatorio sin referencia a unas determinadas funciones. Una misma curva regular puede estar formada por el empalme de tramos sucesivos de las gráficas de varias funciones regulares. Por ejemplo, parte de una Circunferencia, parte de una Parábola, parte de una Elipse, parte de un Caracol regular, tramos empalmados continuos. Lo mismo ocurre con la proyección del conjunto de tramos en unos planos X, Y o Z perpendiculares entre sí. La Continuidad de los tramos se conserva en las proyecciones coplanarias en los planos ortogonales, aunque en dichas proyecciones las Funciones resultantes suelan ser diferentes a las iniciales. pág. 18 HOMEOMORFISMOS entre Conjuntos Abiertos de Rn Una cierta aplicación Fx de un Conjunto U incluido en Rn. Y el U abierto es un Homeomorfismo si la Fx es biunívoca y también es bicontínua. Es decir, si F tiene Inversa 1/F o la Aplicación o Función( Uy )es Continua. Ahora bien : Como el Conjunto U es abierto, y F(u) = ( Abierto en : F(u) ) y U resulta ser: F(u) pero . DIFEOMORFISMOS entre Conjuntos Abiertos de Rn Un Homeomorfismo es Difeomorfismo si F y son derivables o diferenciables. Los Difeomorfismos más útiles son aquellos en los que las Derivadas parciales, son continuas hasta el Orden K > 1 ó K=1 es decir: ( ) en cuyo caso se podría decir que El difeomorfismo en cuestión es de Orden o Clase . Teorema de la Función Inversa………………………………………… pág. 19 Longitud………………………………………………………………………..… Curvatura…………………………………………………………………..….… Curvas Regulares en el conjunto R3 …………………………………. Curvaturas Planas y de Torsión………………………………………… Triedro de Frenet…………………………………………………………….. Forma Canónica del Triedro…………………………………………….. Teorema de la Teoría de Curvas en R3……………………………... Curvas en Rn. Funciones de Curvatura……………………………… Anexo I. Isometrías y Axonometrías en R3 …………………….... pág. 20 pág. 21